959. Решите двойное неравенство: a) 1 < |3x - 8| < 5; б) 2 < |7 - 5x| < 12; в) 1 ≤ |2x - 11| ≤ 5; г) 3 ≤ |15 - 2x| ≤ 7.

Решение:

959. Решение двойных неравенств:

• а) 1 < |3x - 8| < 5
  • Это означает, что выполняются два условия одновременно:
  • 1) |3x - 8| > 1 => (3x - 8 > 1 ИЛИ 3x - 8 < -1) => (3x > 9 ИЛИ 3x < 7) => (x > 3 ИЛИ x < 7/3)
  • 2) |3x - 8| < 5 => -5 < 3x - 8 < 5 => 3 < 3x < 13 => 1 < x < 13/3
  • Объединяем условия: (x > 3 ИЛИ x < 7/3) И (1 < x < 13/3).
  • Пересечение: (1 < x < 7/3) ∪ (3 < x < 13/3)
  • Ответ: x ∈ (1; 7/3) ∪ (3; 13/3)
• б) 2 < |7 - 5x| < 12
  • 1) |7 - 5x| > 2 => (7 - 5x > 2 ИЛИ 7 - 5x < -2) => (-5x > -5 ИЛИ -5x < -9) => (x < 1 ИЛИ x > 9/5)
  • 2) |7 - 5x| < 12 => -12 < 7 - 5x < 12 => -19 < -5x < 5 => 19/5 > x > -1
  • Объединяем условия: (x < 1 ИЛИ x > 9/5) И (-1 < x < 19/5).
  • Пересечение: (-1 < x < 1) ∪ (9/5 < x < 19/5)
  • Ответ: x ∈ (-1; 1) ∪ (9/5; 19/5)
• в) 1 ≤ |2x - 11| ≤ 5
  • 1) |2x - 11| ≥ 1 => (2x - 11 ≥ 1 ИЛИ 2x - 11 ≤ -1) => (2x ≥ 12 ИЛИ 2x ≤ 10) => (x ≥ 6 ИЛИ x ≤ 5)
  • 2) |2x - 11| ≤ 5 => -5 ≤ 2x - 11 ≤ 5 => 6 ≤ 2x ≤ 16 => 3 ≤ x ≤ 8
  • Объединяем условия: (x ≥ 6 ИЛИ x ≤ 5) И (3 ≤ x ≤ 8).
  • Пересечение: [3; 5] ∪ [6; 8]
  • Ответ: x ∈ [3; 5] ∪ [6; 8]
• г) 3 ≤ |15 - 2x| ≤ 7
  • 1) |15 - 2x| ≥ 3 => (15 - 2x ≥ 3 ИЛИ 15 - 2x ≤ -3) => (-2x ≥ -12 ИЛИ -2x ≤ -18) => (x ≤ 6 ИЛИ x ≥ 9)
  • 2) |15 - 2x| ≤ 7 => -7 ≤ 15 - 2x ≤ 7 => -22 ≤ -2x ≤ -8 => 11 ≥ x ≥ 4
  • Объединяем условия: (x ≤ 6 ИЛИ x ≥ 9) И (4 ≤ x ≤ 11).
  • Пересечение: [4; 6] ∪ [9; 11]
  • Ответ: x ∈ [4; 6] ∪ [9; 11]