950. Разложите на множители многочлен: a) 5x² - 5y²; б) ат² – ап²; в) 2ах² - 2ау²; г) 9р² – 9; д) 16х² – 4; e) 75-27c².

Привет! Давай разложим эти многочлены на множители. Это как будто мы собираем конструктор, только наоборот — раскладываем большое целое на маленькие части.

1. а) 5x² - 5y²

   Здесь мы видим, что у обоих слагаемых есть общий множитель 5. Выносим его за скобки:

   \[ 5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2) \]

   А еще видим разность квадратов x² - y². Помнишь формулу a² - b² = (a - b)(a + b)? Применим ее:

   \[ 5(x^2 - y^2) = 5(x - y)(x + y) \]

   Ответ: 5(x - y)(x + y)

2. б) ат² – ап²

   Здесь общий множитель a. Выносим его:

   \[ at^2 - ap^2 = a(t^2 - p^2) \]

   Опять разность квадратов! Только теперь это t² - p².

   \[ a(t^2 - p^2) = a(t - p)(t + p) \]

   Ответ: a(t - p)(t + p)

3. в) 2ах² - 2ау²

   Здесь общие множители 2 и a. Выносим их:

   \[ 2ax^2 - 2ay^2 = 2a(x^2 - y^2) \]

   И снова разность квадратов x² - y².

   \[ 2a(x^2 - y^2) = 2a(x - y)(x + y) \]

   Ответ: 2a(x - y)(x + y)

4. г) 9р² – 9

   Общий множитель здесь 9. Выносим его:

   \[ 9p^2 - 9 = 9(p^2 - 1) \]

   Число 1 — это тоже квадрат, 1². Так что у нас снова разность квадратов p² - 1².

   \[ 9(p^2 - 1) = 9(p - 1)(p + 1) \]

   Ответ: 9(p - 1)(p + 1)

5. д) 16х² – 4

   Здесь можно вынести 4:

   \[ 16x^2 - 4 = 4(4x^2 - 1) \]

   Смотри внимательно: 4x² — это (2x)², а 1 — это 1². Снова разность квадратов!

   \[ 4((2x)^2 - 1^2) = 4(2x - 1)(2x + 1) \]

   Ответ: 4(2x - 1)(2x + 1)

6. е) 75-27c²

   У этих чисел есть общий делитель — 3. Вынесем его:

   \[ 75 - 27c^2 = 3(25 - 9c^2) \]

   Теперь посмотрим на выражение в скобках: 25 — это 5², а 9c² — это (3c)². Опять разность квадратов!

   \[ 3(5^2 - (3c)^2) = 3(5 - 3c)(5 + 3c) \]

   Ответ: 3(5 - 3c)(5 + 3c)