949. Докажите, что если A, B, C и D — произвольные точки, то \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}\).

Представим каждый вектор через радиус-векторы его начала и конца:

\[\overrightarrow{AB}=\vec{B}-\vec{A},\quad \overrightarrow{BC}=\vec{C}-\vec{B},\quad \overrightarrow{CD}=\vec{D}-\vec{C},\quad \overrightarrow{DA}=\vec{A}-\vec{D}.\]

Сложим эти равенства:

\[\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(\vec{B}-\vec{A})+(\vec{C}-\vec{B})+(\vec{D}-\vec{C})+(\vec{A}-\vec{D}).\]

После раскрытия скобок взаимно уничтожаются противоположные слагаемые:

\[ -\vec{A}+\vec{A}+\vec{B}-\vec{B}+\vec{C}-\vec{C}+\vec{D}-\vec{D}=\vec{0}.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\vec{0}\).

Ответ: доказано.