90 На рисунке $$\angle APM=38°$$, $$\angle BCM= = 32°$$. Найдите $$\angle AMP$$. Решение. Вписанные углы РАВ и ВСР на одну и ту же ВР, следовательно, < PAB = < Из треугольника АМР получим: ∠AMP = 180°- (∠ +∠ = 180°- ( + ) Ответ. ∠ AMP =

Привет! Давай решим эту задачку по геометрии. Нам нужно найти угол AMP, зная другие углы и используя свойства вписанных углов и треугольников.

Дано:

• На рисунке: $$\angle APM = 38^{\circ}$$
• $$\angle BCM = 32^{\circ}$$

Найти: $$\angle AMP$$

Решение:

1. Вписанные углы: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
2. Угол PAB и угол PCB: Эти углы опираются на дугу PB. Следовательно, $$\angle PAB = \angle PCB$$.
3. Угол APB и угол ACB: Эти углы опираются на дугу AB. Следовательно, $$\angle APB = \angle ACB$$.
4. Угол PAC и угол PBC: Эти углы опираются на дугу PC. Следовательно, $$\angle PAC = \angle PBC$$.
5. Угол APM = 38°: Этот угол является частью треугольника APM.
6. Угол BCM = 32°: Этот угол также связан с окружностью.
7. Рассмотрим треугольник AMP: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°. Для треугольника AMP:

   \[ \angle MAP + \angle AMP + \angle APM = 180^{\circ} \]

8. Найдем угол MAP: Угол MAP — это вписанный угол, опирающийся на дугу MP. Чтобы найти его, нам нужно найти величину дуги MP.
9. Свяжем известные углы с дугами:
• $$\angle APM = 38^{\circ}$$. Этот угол является частью треугольника APM.
• $$\angle BCM = 32^{\circ}$$. Этот угол является вписанным углом, опирающимся на дугу BM. Следовательно, величина дуги BM равна $$2 \times \angle BCM = 2 \times 32^{\circ} = 64^{\circ}$$.
• Теперь рассмотрим треугольник APM. Нам нужно найти $$\angle AMP$$. Мы знаем $$\angle APM = 38^{\circ}$$. Нам не хватает $$\angle MAP$$.
• Используем свойство вписанных углов: Обратим внимание на углы, опирающиеся на дугу MP. Это угол MAP и угол MBP. Следовательно, $$\angle MAP = \angle MBP$$.
• У нас есть $$\angle BCM = 32^{\circ}$$. Этот угол опирается на дугу BM. Значит, дуга BM = $$2 \times 32^{\circ} = 64^{\circ}$$.
• Теперь рассмотрим угол $$\angle PAM$$ (или $$\angle PAB$$). Этот угол опирается на дугу PB.
• Рассмотрим угол $$\angle PBM$$. Этот угол опирается на дугу PM.
• Нам нужно найти $$\angle AMP$$. Мы знаем, что в треугольнике AMP:

  \[ \angle MAP + \angle AMP + \angle APM = 180^{\circ} \]

• Нам нужно найти $$\angle MAP$$.
• Рассмотрим углы, опирающиеся на дугу BP: Это углы $$\angle BAP$$ и $$\angle BCP$$. Значит, $$\angle BAP = \angle BCP$$.
• У нас есть $$\angle BCM = 32^{\circ}$$.
• У нас есть $$\angle APM = 38^{\circ}$$.
• Рассмотрим треугольник, образованный точками P, C, M.
• Взглянем на рисунок внимательнее: Угол APM = 38°. Угол BCM = 32°.
• Связь с искомым углом AMP: $$\angle AMP$$ является частью треугольника AMP.
• Найдем $$\angle PAM$$ (или $$\angle PAB$$). Угол PAB опирается на дугу PB.
• Найдем $$\angle APB$$. Угол APB опирается на дугу AB.
• Рассмотрим треугольник APM. Сумма углов = 180°. $$\angle AMP + \angle MAP + \angle APM = 180^{\circ}$$.
• Нам нужно найти $$\angle MAP$$.
• Углы, опирающиеся на дугу BM: $$\angle BAM$$ и $$\angle BCM$$. Значит, $$\angle BAM = \angle BCM = 32^{\circ}$$.
• Теперь мы можем найти $$\angle MAP$$ в треугольнике AMP. Мы знаем $$\angle APM = 38^{\circ}$$ и $$\angle MAP$$ (который равен $$\angle BAM$$) = $$32^{\circ}$$.
• В треугольнике AMP:

  \[ \angle MAP = 32^{\circ} \]

  \[ \angle APM = 38^{\circ} \]

  \[ \angle AMP = 180^{\circ} - (\angle MAP + \angle APM) \]

  \[ \angle AMP = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 38^{\circ}) \]

  \[ \angle AMP = 180^{\circ} - 70^{\circ} \]

  \[ \angle AMP = 110^{\circ} \]

• Проверим по рисунку: Угол APM = 38°, угол BAM = 32°. Сумма = 70°. Угол AMP = 110°. В сумме 180°.
• Итак, $$\angle PAB = \angle PCB$$. Мы не знаем $$\angle PCB$$.
• Однако, $$\angle BAM$$ опирается на дугу BM. $$\angle BCM$$ также опирается на дугу BM. Следовательно $$\angle BAM = \angle BCM = 32^{\circ}$$.
• В треугольнике APM:

  \[ \angle MAP = \angle BAM = 32^{\circ} \]

  \[ \angle APM = 38^{\circ} \]

  \[ \angle AMP = 180^{\circ} - (32^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 70^{\circ} = 110^{\circ} \]

Ответ: $$\angle AMP = 110^{\circ}$$