90. Вычислить криволинейный интеграл ∫L (y dx - x dy) / (x^2 + y^2) вдоль границы L треугольника ABC, обходя ее против часовой стрелки, если A(1; 0), B(1; 1), C (0; 1).

Решение:

Задан криволинейный интеграл \( \int_{L} \frac{y dx - x dy}{x^2 + y^2} \).

Граница L — треугольник ABC с вершинами A(1; 0), B(1; 1), C (0; 1). Обход против часовой стрелки.

Разделим контур L на три отрезка: AB, BC, CA.

1. Отрезок AB: \( x = 1 \), \( dx = 0 \). \( y \) изменяется от 0 до 1.

Интеграл по AB:

\[ \int_{AB} \frac{y \cdot 0 - 1 dy}{1^2 + y^2} = \int_{0}^{1} \frac{-dy}{1 + y^2} = - [\arctan(y)]_{0}^{1} = - (\arctan(1) - \arctan(0)) = - (\frac{\pi}{4} - 0) = -\frac{\pi}{4} \]
2. Отрезок BC: \( y = 1 \), \( dy = 0 \). \( x \) изменяется от 1 до 0.

Интеграл по BC:

\[ \int_{BC} \frac{1 dx - x \cdot 0}{x^2 + 1^2} = \int_{1}^{0} \frac{dx}{x^2 + 1} = [\arctan(x)]_{1}^{0} = \arctan(0) - \arctan(1) = 0 - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} \]
3. Отрезок CA: Прямая, проходящая через точки C(0; 1) и A(1; 0). Уравнение прямой: \( y - 0 = \frac{1 - 0}{0 - 1} (x - 1) \) \( y = -1(x - 1) \) \( y = -x + 1 \). \( dy = -dx \). \( x \) изменяется от 0 до 1.

Подставим \( y = 1 - x \) и \( dy = -dx \) в интеграл:

\[ \int_{CA} \frac{(1-x) dx - x (-dx)}{(x)^2 + (1-x)^2} = \int_{0}^{1} \frac{dx - x dx + x dx}{x^2 + 1 - 2x + x^2} = \int_{0}^{1} \frac{dx}{2x^2 - 2x + 1} \]

Выделим полный квадрат в знаменателе: \( 2x^2 - 2x + 1 = 2(x^2 - x + \frac{1}{2}) = 2((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}) \).

\[ \int_{0}^{1} \frac{dx}{2((x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4})} = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dx}{(x - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} \]

Используем формулу \( \int \frac{du}{u^2 + a^2} = \frac{1}{a} \arctan(\frac{u}{a}) \), где \( u = x - \frac{1}{2} \) и \( a = \frac{1}{2} \).

\[ \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} [\arctan(\frac{x - \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}})]_{0}^{1} = [\arctan(2x - 1)]_{0}^{1} \]

Вычисляем значения:

\[ = \arctan(2 \cdot 1 - 1) - \arctan(2 \cdot 0 - 1) = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} \]
4. Суммируем интегралы по всем отрезкам:

\( \int_{L} = \int_{AB} + \int_{BC} + \int_{CA} = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 0 \).

Ответ: 0