9. Вычислите интеграл: ∫(x+2)^2 dx от 1 до 2

Решение:

Для вычисления определённого интеграла \( \int_{1}^{2} (x+2)^2 dx \) сначала найдём первообразную функции \( (x+2)^2 \).

1. Сделаем замену переменной: пусть \( u = x+2 \). Тогда \( du = dx \).
2. При \( x=1 \), \( u = 1+2 = 3 \).
3. При \( x=2 \), \( u = 2+2 = 4 \).
4. Интеграл примет вид: \[ \int_{3}^{4} u^2 du \]
5. Найдём первообразную: \[ \frac{u^3}{3} \]
6. Вычислим определённый интеграл: \[ \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{3}^{4} = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} \]
7. Или, не делая замену пределов интегрирования, найдём первообразную от \( (x+2)^2 \) как \( \frac{(x+2)^3}{3} \).
8. Тогда вычисление будет следующим: \[ \left[ \frac{(x+2)^3}{3} \right]_{1}^{2} = \frac{(2+2)^3}{3} - \frac{(1+2)^3}{3} = \frac{4^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{64}{3} - \frac{27}{3} = \frac{37}{3} \]

Ответ: \( \frac{37}{3} \).