9) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-x²+4 y=0

9. Площадь фигуры

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = -x^2 + 4 \) и \( y = 0 \), сначала найдем точки пересечения этих линий. Приравняем правые части уравнений:

\( -x^2 + 4 = 0 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = \pm 2 \)

Таким образом, точки пересечения находятся при \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

Площадь фигуры можно вычислить с помощью определенного интеграла. Верхняя граница фигуры — это парабола \( y = -x^2 + 4 \), а нижняя — ось абсцисс \( y = 0 \). Интервал интегрирования — от \( -2 \) до \( 2 \).

Формула для площади:

\( S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) dx \)

Вычислим интеграл:

\( S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2} \)

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

\( S = \left( -\frac{2^3}{3} + 4 \cdot 2 \right) - \left( -\frac{(-2)^3}{3} + 4 \cdot (-2) \right) \)

\( S = \left( -\frac{8}{3} + 8 \right) - \left( -\frac{-8}{3} - 8 \right) \)

\( S = \left( -\frac{8}{3} + \frac{24}{3} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{24}{3} \right) \)

\( S = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) \)

\( S = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3} \)

Ответ: \( \frac{32}{3} \).