9) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=-2x+1; y = 0; x = 0; x = 3

Решение:

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, нужно найти определённый интеграл от функции \( y = -2x + 1 \) в пределах от \( x = 0 \) до \( x = 3 \).

Площадь \( S \) вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В нашем случае \( f(x) = -2x + 1 \), \( a = 0 \), \( b = 3 \).

\[ S = \int_{0}^{3} (-2x + 1) dx \]

Сначала найдём первообразную для функции \( -2x + 1 \):

\[ F(x) = -2 \frac{x^2}{2} + x = -x^2 + x \]

Теперь вычислим значение определённого интеграла, подставив пределы интегрирования:

\[ S = F(3) - F(0) \]

\( F(3) = -(3)^2 + 3 = -9 + 3 = -6 \)

\( F(0) = -(0)^2 + 0 = 0 \)

\( S = -6 - 0 = -6 \)

Однако, площадь не может быть отрицательной. Это означает, что функция \( y = -2x + 1 \) на интервале \( [0, 3] \) принимает отрицательные значения. Найдём, где функция пересекает ось \( x \) (то есть \( y=0 \)):

\( -2x + 1 = 0 \)

\( -2x = -1 \)

\( x = 0.5 \)

Таким образом, на интервале \( [0, 0.5] \) функция положительна, а на интервале \( [0.5, 3] \) — отрицательна. Чтобы найти площадь, нужно взять интеграл от модуля функции или разбить интеграл на две части:

\( S = \int_{0}^{0.5} (-2x + 1) dx + |\int_{0.5}^{3} (-2x + 1) dx| \)

Первый интеграл:

\( \int_{0}^{0.5} (-2x + 1) dx = [-x^2 + x]_{0}^{0.5} = (-(0.5)^2 + 0.5) - (-(0)^2 + 0) = (-0.25 + 0.5) - 0 = 0.25 \)

Второй интеграл:

\( \int_{0.5}^{3} (-2x + 1) dx = [-x^2 + x]_{0.5}^{3} = (-(3)^2 + 3) - (-(0.5)^2 + 0.5) = (-9 + 3) - (-0.25 + 0.5) = -6 - 0.25 = -6.25 \)

Теперь найдём общую площадь:

\( S = 0.25 + |-6.25| = 0.25 + 6.25 = 6.5 \)

Ответ: 6.5.