9) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y = -1 + x²; y = 0; x = 1; x = -1

Решение:

Для вычисления площади фигуры, ограниченной заданными линиями, нам нужно взять определенный интеграл функции, которая находится выше, по промежутку, определенному границами.

Функции:

• \( y = -1 + x^2 \)
• \( y = 0 \) (ось x)
• \( x = -1 \)
• \( x = 1 \)

Сначала найдем точки пересечения параболы \( y = -1 + x^2 \) с осью x \( y = 0 \):

\[ -1 + x^2 = 0 \]

\[ x^2 = 1 \]

\[ x = 1 \]

Таким образом, парабола пересекает ось x в точках \( x = -1 \) и \( x = 1 \). Эти точки совпадают с заданными вертикальными границами.

На промежутке от \( x = -1 \) до \( x = 1 \), функция \( y = -1 + x^2 \) будет находиться выше оси x \( y = 0 \) только при \( x^2 > 1 \), что не происходит на данном промежутке. На самом деле, на промежутке \( [-1, 1] \), значения \( x^2 \) находятся между 0 и 1, поэтому \( y = -1 + x^2 \) будет отрицательной. Например, при \( x = 0 \), \( y = -1 \).

Это означает, что фигура ограничена сверху осью x \( y=0 \), а снизу параболой \( y = -1+x^2 \) на интервале \( [-1, 1] \).

Площадь фигуры вычисляется по формуле:

\[ A = \int_{a}^{b} (y_{верх} - y_{низ}) dx \]

В нашем случае:

\[ A = \int_{-1}^{1} (0 - (-1 + x^2)) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx \]

Теперь вычислим определенный интеграл:

\[ \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} \]

Подставим верхний и нижний пределы:

\[ = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) \]

\[ = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{-1}{3} \right) \]

\[ = \left( \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) \]

\[ = \frac{2}{3} - \left( -\frac{3}{3} + \frac{1}{3} \right) \]

\[ = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) \]

\[ = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{4}{3} \).