9. В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 4, sinA = \(\frac\){\(\sqrt{5}\)}{5}. Найдите ВС.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии.

Дано:

• Треугольник ABC, угол C = 90°.
• AC = 4.
• \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \)

Найти: BC

Решение:

В прямоугольном треугольнике синус острого угла — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.

В нашем случае:

• Угол A.
• Противолежащий катет — BC.
• Прилежащий катет — AC.
• Гипотенуза — AB.

Формула синуса угла A:

\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]

Мы знаем, что \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \) и AC = 4. Нам нужно найти BC.

Чтобы найти BC, нам нужно сначала найти длину гипотенузы AB. Мы можем использовать основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \).

Сначала найдем \( \cos A \). Мы знаем, что \( \sin A = \frac{\sqrt{5}}{5} \).

\[ \left( \frac{\sqrt{5}}{5} \right)^2 + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{5}{25} + \cos^2 A = 1 \]

\[ \frac{1}{5} + \cos^2 A = 1 \]

\[ \cos^2 A = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \]

\[ \cos A = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \]

Теперь, когда мы знаем \( \cos A \), мы можем найти BC, используя то, что \( \cos A = \frac{AC}{AB} \).

\[ \cos A = \frac{AC}{AB} \]

\[ \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{4}{AB} \]

Выразим AB:

\[ AB = \frac{4 \times 5}{2\sqrt{5}} = \frac{20}{2\sqrt{5}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5} \]

Теперь, когда у нас есть AB, мы можем найти BC, используя теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \).

\[ 4^2 + BC^2 = (2\sqrt{5})^2 \]

\[ 16 + BC^2 = 4 \times 5 \]

\[ 16 + BC^2 = 20 \]

\[ BC^2 = 20 - 16 \]

\[ BC^2 = 4 \]

\[ BC = \sqrt{4} = 2 \]

Альтернативный способ (проще!):

Мы знаем, что \( \sin A = \frac{BC}{AB} \). А также \( \tan A = \frac{BC}{AC} \).

Сначала найдем \( \tan A \). Мы знаем, что \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \).

\[ \tan A = \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \]

Теперь используем формулу тангенса:

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]

\[ \frac{1}{2} = \frac{BC}{4} \]

Выразим BC:

\[ BC = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \]

Как видишь, второй способ гораздо быстрее!

Ответ: 2