9 В треугольнике АВС угол C равен 90°, AB=18, sin A = √35 / 6. Найдите длину стороны АС.

Логика решения:

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90°, мы имеем:

• Гипотенуза AB = 18.
• Синус угла A: \(\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\).

Нам дано, что \(\sin A = \frac{\sqrt{35}}{6}\).

Значит, \(\frac{BC}{18} = \frac{\sqrt{35}}{6}\).

Отсюда мы можем найти длину катета BC:

\(BC = 18 \times \frac{\sqrt{35}}{6} = 3\sqrt{35}\).

Теперь нам нужно найти длину катета AC. Мы можем использовать теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).

Подставляем известные значения:

\(AC^2 + (3\sqrt{35})^2 = 18^2\)

\(AC^2 + (9 \times 35) = 324\)

\(AC^2 + 315 = 324\)

\(AC^2 = 324 - 315\)

\(AC^2 = 9\)

\(AC = \sqrt{9}\)

\(AC = 3\).

Проверка:

Мы нашли \(AC = 3\) и \(BC = 3\sqrt{35}\). Проверим \(\sin A\) и \(\cos A\).

\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3\sqrt{35}}{18} = \frac{\sqrt{35}}{6}\) (Совпадает с условием).

\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\).

Теперь проверим основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).

\((\frac{\sqrt{35}}{6})^2 + (\frac{1}{6})^2 = \frac{35}{36} + \frac{1}{36} = \frac{36}{36} = 1\). (Верно).

Ответ: Длина стороны AC равна 3.