9. В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, угол В равен 78°. Биссектрисы углов А и С пересекаются в точке М. Найдите величину угла АМС.

Решение:

1. Определим углы треугольника АВС:

   Так как АВ = ВС, треугольник АВС — равнобедренный. Следовательно, углы при основании равны:

   • Угол ВАС = Угол ВСА = \( (180° - 78°) / 2 \) = \( 102° / 2 \) = \( 51° \)
2. Найдем углы, образованные биссектрисами:

   Биссектрисы углов А и С делят эти углы пополам:

   • Угол МАС = Угол ВАС / 2 = \( 51° / 2 \) = \( 25.5° \)
   • Угол МСА = Угол ВСА / 2 = \( 51° / 2 \) = \( 25.5° \)
3. Найдем угол АМС в треугольнике АМС:

   Сумма углов в треугольнике равна 180°:

   • Угол АМС = \( 180° - (Угол МАС + Угол МСА) \)
   • Угол АМС = \( 180° - (25.5° + 25.5°) \)
   • Угол АМС = \( 180° - 51° \) = \( 129° \)

Ответ: 129°