9. В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA =38° и ∠BDC=32°. Найдите ∠ABD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Дана равнобедренная трапеция ABCD, где AB = CD. Известно, что \( \angle BDA = 38^{\circ} \) и \( \angle BDC = 32^{\circ} \).

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании равны. Следовательно, \( \angle CAD = \angle BDA = 38^{\circ} \) и \( \angle ACD = \angle BDC = 32^{\circ} \) (как накрест лежащие углы при параллельных основаниях BC и AD и секущих AC и BD соответственно).

В равнобедренной трапеции диагонали равны, поэтому AC = BD. Диагональ BD состоит из отрезков BA и AD, а диагональ AC состоит из отрезков AD и DC. Однако, это не так, диагональ BD состоит из отрезков BA и AD, а AC состоит из отрезков AC. В данном случае, \( \angle ADB = 38^{\circ} \) и \( \angle CDB = 32^{\circ} \). Это значит, что \( \angle ADC = \angle ADB + \angle CDB = 38^{\circ} + 32^{\circ} = 70^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Значит, \( \angle BCD = \angle ADC = 70^{\circ} \).

Сумма углов трапеции равна \( 360^{\circ} \). Так как BC || AD, то \( \angle ABC + \angle BAD = 180^{\circ} \) и \( \angle BCD + \angle ADC = 180^{\circ} \).

В треугольнике BCD: \( \angle DBC = 180^{\circ} - \angle BCD - \angle BDC = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 32^{\circ} = 78^{\circ} \).

В треугольнике ABD: \( \angle ABD + \angle BDA + \angle DAB = 180^{\circ} \).

Мы знаем, что \( \angle DAB = \angle ADC = 70^{\circ} \) (углы при основании AD).

Тогда \( \angle ABD = 180^{\circ} - \angle DAB - \angle BDA = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 38^{\circ} = 72^{\circ} \).

Проверим: \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC = 72^{\circ} + 78^{\circ} = 150^{\circ} \).

\( \angle ABC + \angle BCD = 150^{\circ} + 70^{\circ} = 220^{\circ} \), что не равно \( 180^{\circ} \). Значит, \( \angle DAB \neq \angle ADC \).

В равнобедренной трапеции равны углы при каждом основании. Основания BC и AD. Значит, \( \angle DAB = \angle CBA \) и \( \angle BCD = \angle ADC \).

У нас \( \angle BDA = 38^{\circ} \) и \( \angle BDC = 32^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ADC = 38^{\circ} + 32^{\circ} = 70^{\circ} \).

В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, то есть \( \angle BCD = \angle ADC = 70^{\circ} \) и \( \angle ABC = \angle BAD \).

Сумма углов трапеции равна \( 360^{\circ} \). \( \angle ABC + \angle BAD + \angle BCD + \angle ADC = 360^{\circ} \).

\( 2 \angle BAD + 2 \times 70^{\circ} = 360^{\circ} \).

\( 2 \angle BAD = 360^{\circ} - 140^{\circ} = 220^{\circ} \).

\( \angle BAD = 110^{\circ} \).

Теперь рассмотрим треугольник ABD. Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + \angle BDA + \angle BAD = 180^{\circ} \).

\( \angle ABD + 38^{\circ} + 110^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( \angle ABD = 180^{\circ} - 110^{\circ} - 38^{\circ} = 32^{\circ} \).

Ответ: 32.