9. Участок земли имеет форму четырёхугольника ABCD, у которого стороны АВ и ВС перпендикулярны. Стороны АВ=5 м, ВС=12 м, CD=15 м, DA=14 м. Найдите площадь этого участка.

Дано:

• Четырёхугольник $$ABCD$$.
• $$AB \perp BC$$.
• $$AB = 5$$ м.
• $$BC = 12$$ м.
• $$CD = 15$$ м.
• $$DA = 14$$ м.

Найти: Площадь $$ABCD$$.

Решение:

1. Разбиение на треугольники: Проведём диагональ $$AC$$. Мы получим два треугольника: $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ADC$$.
2. Площадь $$\triangle ABC$$: Так как $$AB \perp BC$$, то $$\triangle ABC$$ — прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения катетов:
   • $$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 5 \text{ м} \times 12 \text{ м} = 30$$ м².
3. Длина диагонали $$AC$$: По теореме Пифагора для $$\triangle ABC$$:
   • $$AC^2 = AB^2 + BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$.
   • $$AC = \sqrt{169} = 13$$ м.
4. Площадь $$\triangle ADC$$: Для $$\triangle ADC$$ известны все три стороны: $$AC = 13$$ м, $$CD = 15$$ м, $$DA = 14$$ м. Используем формулу Герона для нахождения площади.
• Полупериметр $$p = \frac{AC + CD + DA}{2} = \frac{13 + 15 + 14}{2} = \frac{42}{2} = 21$$ м.
• $$S_{\triangle ADC} = \sqrt{p(p-AC)(p-CD)(p-DA)} = \sqrt{21(21-13)(21-15)(21-14)} = \sqrt{21 \times 8 \times 6 \times 7} = \sqrt{3 \times 7 \times 2^3 \times 2 \times 3 \times 7} = \sqrt{2^4 \times 3^2 \times 7^2} = 2^2 \times 3 \times 7 = 4 \times 21 = 84$$ м².
5. Площадь четырёхугольника $$ABCD$$: Площадь четырёхугольника равна сумме площадей треугольников:
   • $$S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC} = 30 \text{ м}^2 + 84 \text{ м}^2 = 114$$ м².

Ответ: 114 м²