9. У Светы есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 560 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 20 см?

Решение:

Высота после каждого отскока уменьшается в 2 раза. Это геометрическая прогрессия с первым членом \(h_1 = 560\) см и знаменателем \(q = 1/2\).

Формула высоты после n-го отскока: \(h_n = h_1 · q^n\).

Нам нужно найти такое \(n\), при котором \(h_n < 20\) см.

\(560 · (1/2)^n < 20\)

Разделим обе части на 560:

\((1/2)^n < 20 / 560\)

\((1/2)^n < 1 / 28\)

Чтобы избавиться от дроби в левой части, можно возвести обе части в степень -1, при этом знак неравенства изменится:

\(2^n > 28\)

Теперь подберем значение \(n\), при котором \(2^n\) будет больше 28:

• \(2^1 = 2\)
• \(2^2 = 4\)
• \(2^3 = 8\)
• \(2^4 = 16\)
• \(2^5 = 32\)

Наименьшее целое \(n\), удовлетворяющее условию \(2^n > 28\), равно 5.

Таким образом, после 5-го отскока высота станет меньше 20 см.

Ответ: 5