9. Три числа, дающие в сумме 18, являются последовательными членами арифметической прогрессии. Если от первого числа вычесть 2, от второго вычесть 3, а третье число оставить без изменения, то полученные числа будут последовательными членами геометрической прогрессии. Найдите эти числа.

Задание 9. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Пусть три последовательных члена арифметической прогрессии будут \( a-d \), \( a \), \( a+d \). Их сумма равна 18:

\[ (a-d) + a + (a+d) = 18 \]\[ 3a = 18 \]\[ a = 6 \]

Значит, среднее число арифметической прогрессии равно 6. Числа имеют вид \( 6-d \), 6, \( 6+d \).

Теперь рассмотрим второе условие: если от первого числа вычесть 2, от второго вычесть 3, а третье оставить без изменения, то получится геометрическая прогрессия.

Полученные числа:

• Первое: \( (6-d) - 2 = 4-d \)
• Второе: \( 6 - 3 = 3 \)
• Третье: \( 6+d \)

Для геометрической прогрессии выполняется условие:

\[ b^2 = ac \]

где \( b \) — средний член, \( a \) и \( c \) — крайние члены.

Подставляем наши числа:

\[ 3^2 = (4-d)(6+d) \]\[ 9 = 24 + 4d - 6d - d^2 \]\[ 9 = 24 - 2d - d^2 \]

Переносим все в одну сторону:

\[ d^2 + 2d + 9 - 24 = 0 \]\[ d^2 + 2d - 15 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение для \( d \):

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \]\[ \sqrt{D} = 8 \]\[ d_1 = \frac{-2 + 8}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \]\[ d_2 = \frac{-2 - 8}{2(1)} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Теперь найдем исходные числа для каждого значения \( d \).

Случай 1: \( d = 3 \)

Числа арифметической прогрессии: \( 6-3 \), 6, \( 6+3 \) → 3, 6, 9.

Проверка: 3 + 6 + 9 = 18. Верно.

Преобразованные числа: \( 4-3 \), 3, \( 6+3 \) → 1, 3, 9.

Проверка: 1, 3, 9 — это геометрическая прогрессия (3/1 = 3, 9/3 = 3).

Случай 2: \( d = -5 \)

Числа арифметической прогрессии: \( 6-(-5) \), 6, \( 6+(-5) \) → 11, 6, 1.

Проверка: 11 + 6 + 1 = 18. Верно.

Преобразованные числа: \( 4-(-5) \), 3, \( 6+(-5) \) → 9, 3, 1.

Проверка: 9, 3, 1 — это геометрическая прогрессия (3/9 = 1/3, 1/3 = 1/3).

В обоих случаях числа соответствуют условиям задачи.

Ответ: 3, 6, 9 или 11, 6, 1.