№9. Точка движется равномерно по окружности со скоростью v. Другая точка движется равномерно вдоль диаметра этой окружности со скоростью u. Найдите скорость первой точки относительно второй в момент, когда радиус-вектор первой точки составляет угол α = 60° с направлением движения второй точки.

Решение:

Обозначим:

• \( v \) — скорость первой точки (по окружности).
• \( u \) — скорость второй точки (по диаметру).
• \( \alpha = 60° \) — угол между радиус-вектором первой точки и направлением движения второй точки.

Скорость первой точки относительно второй \( \vec{v}_{12} \) равна разности скоростей:

\[ \vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \]

Разложим скорости на составляющие:

Пусть первая точка движется по окружности радиуса R. Скорость \( \vec{v}_1 \) направлена по касательной к окружности. Вторая точка движется вдоль диаметра, так что её скорость \( \vec{u} \) направлена вдоль оси, проходящей через центр окружности.

В момент, когда угол составляет \( \alpha = 60° \):

• Скорость \( \vec{v}_1 \) имеет две компоненты:
• Касательная компонента (параллельная оси диаметра): \( v_{\text{tan}} = v \cos(90° - \alpha) = v \sin(\alpha) \).
• Радиальная компонента (перпендикулярная оси диаметра): \( v_{\text{rad}} = v \sin(90° - \alpha) = v \cos(\alpha) \).
• Скорость \( \vec{u} \) направлена вдоль оси диаметра, её величина равна \( u \).

Скорость первой точки относительно второй имеет компоненты:

• Вдоль оси диаметра: \( v_{12, \text{parallel}} = v_{\text{tan}} - u = v \sin(\alpha) - u \) (предполагаем, что \( u \) направлена в одну сторону с осью).
• Перпендикулярно оси диаметра: \( v_{12, \text{perp}} = v_{\text{rad}} = v \cos(\alpha) \).

Полная скорость первой точки относительно второй равна:

\[ v_{12} = \sqrt{(v_{12, \text{parallel}})^2 + (v_{12, \text{perp}})^2} \]\[ v_{12} = \sqrt{(v \sin(\alpha) - u)^2 + (v \cos(\alpha))^2} \]\[ v_{12} = \sqrt{v^2 \sin^2(\alpha) - 2uv \sin(\alpha) + u^2 + v^2 \cos^2(\alpha)} \]\[ v_{12} = \sqrt{v^2 (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) - 2uv \sin(\alpha) + u^2} \]\[ v_{12} = \sqrt{v^2 + u^2 - 2uv \sin(\alpha)} \]

Подставим \( \alpha = 60° \):

\( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\[ v_{12} = \sqrt{v^2 + u^2 - 2uv \frac{\sqrt{3}}{2}} \]\[ v_{12} = \sqrt{v^2 + u^2 - uv\sqrt{3}} \]

Ответ:

Скорость первой точки относительно второй равна \( \sqrt{v^2 + u^2 - uv\sqrt{3}} \).