№9 Точка движется равномерно по окружности со скоростью v. Другая точка движется равномерно по окружности диаметра той окружности со скоростью u. Найдите скорость первой точки относительно второй в момент, когда радиус-вектор первой точки составляет угол a = 60° с направлением движения второй точки.

Решение:

1. Дано:
   Скорость первой точки (движение по окружности) \( v \).
   Скорость второй точки (движение по диаметру) \( u \).
   Угол между радиус-вектором первой точки и направлением движения второй точки \( \alpha = 60^{\circ} \).
2. Найти: Скорость первой точки относительно второй \( \vec{v}_{12} \).
3. Физическая модель:
   Скорость первой точки \( \vec{v}_1 \) направлена по касательной к окружности. Вторая точка движется по диаметру, поэтому её скорость \( \vec{v}_2 \) направлена вдоль этого диаметра.
4. Векторное сложение скоростей:
   Скорость первой точки относительно второй равна разности их абсолютных скоростей: \( \vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \).
5. Разложение векторов:
   Выберем систему координат так, чтобы начало второй точки (и центр окружности) находилось в начале координат. Вектор \( \vec{v}_2 \) направлен вдоль оси X. Скорость \( \vec{v}_1 \) имеет составляющие:
   \( v_{1x} = v \cos(90^{\circ} - \alpha) = v \sin(\alpha) \) (тангенциальная скорость).
   \( v_{1y} = v \sin(90^{\circ} - \alpha) = v \cos(\alpha) \).
   Однако, согласно условию, \( \alpha = 60^{\circ} \) — это угол между радиус-вектором и направлением движения второй точки. Скорость \( \vec{v}_1 \) всегда перпендикулярна радиус-вектору.
   Если \( \vec{v}_2 \) направлена вдоль оси X, то \( \vec{v}_1 \) имеет составляющие:
   \( v_{1x} = -v \sin(\alpha) \) (отрицательное направление, т.к. движется против часовой стрелки, а \( \alpha \) - угол с направлением движения \( \vec{v}_2 \)),
   \( v_{1y} = v \cos(\alpha) \).
6. Расчет скорости второй точки:
   Вторая точка движется по диаметру. Если радиус окружности \( R \), то диаметр \( 2R \). Скорость \( u \) связана с \( v \) через радиус: \( v = \omega R \), где \( \omega \) — угловая скорость. Скорость второй точки \( u \) будет равна \( u = \omega R \) если она движется по радиусу, или \( u = 2 \omega R \) если она движется по диаметру. Для простоты примем, что \( v \) — это линейная скорость точки на окружности, а \( u \) — линейная скорость точки, движущейся по диаметру.
7. Вектор скорости первой точки относительно второй:
   \( \vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2 \).
   В компонентах:
   \( v_{12x} = v_{1x} - u_x \)
   \( v_{12y} = v_{1y} - u_y \)
   Примем, что \( \vec{v}_2 \) направлена вправо (положительное направление оси X). Тогда \( u_x = u \), \( u_y = 0 \).
   Если \( \alpha = 60^{\circ} \) — угол между радиус-вектором и направлением \( \vec{v}_2 \), то:
   \( v_{1x} = -v \sin(60^{\circ}) = -v \frac{\sqrt{3}}{2} \)
   \( v_{1y} = v \cos(60^{\circ}) = v \frac{1}{2} \)
   Тогда:
   \( v_{12x} = -v \frac{\sqrt{3}}{2} - u \)
   \( v_{12y} = v \frac{1}{2} - 0 = v \frac{1}{2} \)
   Модуль скорости \( v_{12} = \sqrt{v_{12x}^2 + v_{12y}^2} = \sqrt{(-v \frac{\sqrt{3}}{2} - u)^2 + (v \frac{1}{2})^2} \)
   \( v_{12} = \sqrt{v^2 \frac{3}{4} + 2uv\frac{\sqrt{3}}{2} + u^2 + v^2 \frac{1}{4}} \)
   \( v_{12} = \sqrt{v^2 + u^2 + uv\sqrt{3}} \)

Ответ: Скорость первой точки относительно второй равна \( \sqrt{v^2 + u^2 + uv\sqrt{3}} \).