9. Решите уравнение: x+21 / x^2-9 - x / x+3 = 0.

Решение:

Данное уравнение является дробно-алгебраическим. Для его решения необходимо привести дроби к общему знаменателю и решить получившееся целое уравнение, учитывая ограничения на переменные.

1. Определим общий знаменатель. Разложим знаменатель первой дроби на множители: \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \). Общий знаменатель для обеих дробей — \( (x-3)(x+3) \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{x+21}{(x-3)(x+3)} - \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = 0 \)
3. Вычтем числители: \( \frac{(x+21) - x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = 0 \)
4. Раскроем скобки в числителе: \( x + 21 - (x^2 - 3x) = 0 \) \( x + 21 - x^2 + 3x = 0 \) \( -x^2 + 4x + 21 = 0 \)
5. Умножим на -1, чтобы коэффициент при \( x^2 \) был положительным: \( x^2 - 4x - 21 = 0 \)
6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac \) \( D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) = 16 + 84 = 100 \)
7. Найдём корни уравнения: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 10}{2} = \frac{14}{2} = 7 \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 10}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
8. Проверим ограничения: знаменатели дробей не должны быть равны нулю. \( x^2 - 9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3 \) и \( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \).
9. Корень \( x = -3 \) не удовлетворяет условию \( x \neq -3 \), поэтому он является посторонним.

Ответ: x = 7.