9. Решите уравнение: 18 / (x^2 - 9) = x / (x + 3) + 4 / (x - 3).

Решение уравнения:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ): Знаменатели не должны быть равны нулю.
• \[ x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq 3, x \neq -3 \]
• \[ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 \]
• \[ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 \]

ОДЗ: $$x \neq 3$$ и $$x \neq -3$$.

2. Приведем к общему знаменателю: Общий знаменатель для всех дробей — это $$ (x^2 - 9) $$.
\[ \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)} \]\[ \frac{18}{x^2 - 9} = \frac{x^2 - 3x}{(x^2 - 9)} + \frac{4x + 12}{(x^2 - 9)} \]
3. Приравняем числители: Так как знаменатели одинаковы, можем приравнять числители.
\[ 18 = x^2 - 3x + 4x + 12 \]\[ 18 = x^2 + x + 12 \]
4. Решим квадратное уравнение: Перенесем все в одну сторону.
\[ x^2 + x + 12 - 18 = 0 \]\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
5. Найдем корни квадратного уравнения: Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Используем теорему Виета: сумма корней равна -1, произведение — -6.
• \[ x_1 + x_2 = -1 \]
• \[ x_1 \times x_2 = -6 \]

Подбираем корни: $$x_1 = 2$$, $$x_2 = -3$$.

6. Проверим ОДЗ:
• Корень $$x_1 = 2$$ подходит, так как не равен 3 и -3.
• Корень $$x_2 = -3$$ не подходит, так как нарушает ОДЗ.

Ответ: 2