9. Решите неравенство x² ≤ 64.

Решение:

Чтобы решить неравенство \( x^2 \le 64 \), нужно найти все значения \( x \), при которых квадрат этого числа не превышает 64.

1. Перенесём всё в левую часть:

\[ x^2 - 64 \le 0 \]

2. Приравняем выражение к нулю, чтобы найти корни:

\[ x^2 - 64 = 0 \]\[ x^2 = 64 \]\[ x = \pm\sqrt{64} \]\[ x = \pm 8 \]

3. Полученные корни \( x_1 = -8 \) и \( x_2 = 8 \) делят числовую прямую на три промежутка: \( (-\infty, -8) \), \( (-8, 8) \) и \( (8, \infty) \).

4. Проверим знаки выражения \( x^2 - 64 \) на каждом промежутке:

• При \( x = -9 \) (из первого промежутка): \( (-9)^2 - 64 = 81 - 64 = 17 > 0 \)
• При \( x = 0 \) (из второго промежутка): \( 0^2 - 64 = -64 < 0 \)
• При \( x = 9 \) (из третьего промежутка): \( 9^2 - 64 = 81 - 64 = 17 > 0 \)

5. Нам нужны значения, где \( x^2 - 64 \) меньше или равно нулю. Это промежуток \( [-8, 8] \).

Ответ: \( [-8; 8] \).