9. Пусть a > 0, b < 0. Доказать, что: 1) a − b > 0; 2) b − a < 0; 3) a²b + b³ < 0; 4) ab³ + a³b < 0.

1. Так как \(a>0\), а \(b<0\), то \(-b>0\). Следовательно, сумма двух положительных чисел положительна:

   \(a-b=a+(-b)>0\).

2. Из пункта 1 следует:

   \(b-a=-(a-b)<0\), поскольку число, противоположное положительному, является отрицательным.

3. Вынесем общий множитель:

   \(a^2b+b^3=b(a^2+b^2)\).

   Так как \(a^2>0\), \(b^2>0\), то \(a^2+b^2>0\). При этом \(b<0\), поэтому произведение отрицательно:

   \(b(a^2+b^2)<0\).

4. Вынесем общий множитель:

   \(ab^3+a^3b=ab(b^2+a^2)\).

   Так как \(a>0\), \(b<0\), то \(ab<0\), а \(a^2+b^2>0\). Поэтому

   \(ab(a^2+b^2)<0\).

Ответ: доказано, что все четыре неравенства верны.