9. Прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 13, а один из катетов равен 12, вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь полной поверхности тела вращения. Единицы измерения (квадратные сантиметры, метры и т.д.) в ответе не писать

Решение:

Пусть гипотенуза равна \( c = 13 \), один катет \( a = 12 \). Найдём второй катет \( b \) по теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

\( 12^2 + b^2 = 13^2 \)

\( 144 + b^2 = 169 \)

\( b^2 = 169 - 144 = 25 \)

\( b = \sqrt{25} = 5 \).

Так как \( b = 5 \) меньше, чем \( a = 12 \), то тело вращается вокруг катета \( b \). При вращении вокруг катета \( b \) образуется конус. Радиус основания конуса равен катету \( a \), а высота конуса равна катету \( b \).

Радиус основания \( R = a = 12 \).

Высота конуса \( H = b = 5 \).

Образующая конуса \( L \) равна гипотенузе \( c = 13 \).

Площадь полной поверхности конуса складывается из площади боковой поверхности и площади основания:

\( S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} \)

Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{бок} = \pi R L \).

Площадь основания конуса (круг): \( S_{осн} = \pi R^2 \).

\( S_{бок} = \pi \cdot 12 \cdot 13 = 156 \pi \)

\( S_{осн} = \pi \cdot 12^2 = 144 \pi \)

\( S_{полн} = 156 \pi + 144 \pi = 300 \pi \)

Ответ: 300\(\pi\)