9. Площадь между \( y = x \) и \( y = x^3 \) на \( [0, 1] \).

Решение:

Сначала определим, какая функция больше на отрезке \( [0, 1] \). При \( x \in (0, 1) \), \( x > x^3 \).

Площадь между двумя кривыми вычисляется как интеграл разности функций:

\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^3) dx \]

Найдем первообразную:

\[ \int (x - x^3) dx = \int x dx - \int x^3 dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \]

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - 0 = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \]

Ответ: \( \frac{1}{4} \).