9. Объем конуса равен 10. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Решение:

Пусть \( V \) — объем большого конуса, \( H \) — его высота, \( R \) — радиус основания.

По условию, \( V = 10 \).

Через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию. Это значит, что высота меньшего конуса \( h = \frac{1}{2}H \).

Меньший конус подобен большему. Коэффициент подобия \( k \) равен отношению высот: \( k = \frac{h}{H} = \frac{\frac{1}{2}H}{H} = \frac{1}{2} \).

Отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия: \( \frac{V_{меньшего}}{V} = k^3 \).

\( V_{меньшего} = V \cdot k^3 = 10 \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 10 \cdot \frac{1}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1.25 \).

Ответ: 1.25.