9. Найдите все корни уравнения 5 · 9^x + 2 · 15^x – 3 · 25^x = 0.

Решение:

Данное уравнение является однородным уравнением второй степени относительно \( 3^x \) и \( 5^x \).

Запишем уравнение в виде:

\[ 5 \cdot (3^2)^x + 2 \cdot (3 · 5)^x - 3 · (5^2)^x = 0 \]\[ 5 · (3^x)^2 + 2 · 3^x · 5^x - 3 · (5^x)^2 = 0 \]

Разделим обе части уравнения на \( (5^x)^2 \), так как \( 5^x ≠ 0 \) для любого \( x \).

\[ 5 · \frac{(3^x)^2}{(5^x)^2} + 2 · \frac{3^x · 5^x}{(5^x)^2} - 3 = 0 \]\[ 5 · \left(\frac{3}{5}\right)^{2x} + 2 · \left(\frac{3}{5}\right)^x - 3 = 0 \]

Пусть \( y = \left(\frac{3}{5}\right)^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 5y^2 + 2y - 3 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( y \).

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 · 5 · (-3) = 4 + 60 = 64 \).

Корни квадратного уравнения:

\[ y_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 · 5} = \frac{-2 + 8}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]\[ y_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 · 5} = \frac{-2 - 8}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Теперь вернёмся к замене \( y = \left(\frac{3}{5}\right)^x \).

1. \( y_1 = \frac{3}{5} \) \(→\) \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{3}{5} \) \(→\) \( x = 1 \).

2. \( y_2 = -1 \) \(→\) \( \left(\frac{3}{5}\right)^x = -1 \). Экспоненциальная функция \( a^x \) всегда положительна, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 1.