9. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 2.

Решение:

Фигура, площадь которой нужно найти, ограничена параболой \( y = x^2 \) и прямыми \( x = 0 \) и \( y = 3 \).

Для начала определим точку пересечения параболы \( y = x^2 \) и прямой \( y = 3 \).

Приравниваем \( x^2 = 3 \). Отсюда \( x = \pm\sqrt{3} \). Так как на графике показана область справа от оси \( y \), нас интересует \( x = \sqrt{3} \).

Площадь фигуры можно найти как интеграл функции \( y = x^2 \) от \( x = 0 \) до \( x = \sqrt{3} \), но также можно вычислить площадь прямоугольника со сторонами \(
\sqrt{3} \) и \( 3 \) и вычесть из неё площадь под параболой.

Проще всего найти площадь как разность между площадью прямоугольника и площадью под кривой \( y = x^2 \) от \( 0 \) до \( \sqrt{3} \).

Площадь прямоугольника, описанного вокруг закрашенной области, равна \( S_{прямоугольника} = \text{основание} \times \text{высота} = \sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3} \).

Площадь под кривой \( y = x^2 \) от \( 0 \) до \( \sqrt{3} \) равна:

\[ S_{под\_кривой} = \int_{0}^{\sqrt{3}} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{3})^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} \]

Однако, на рисунке закрашенная область другая. Она ограничена параболой \( y = x^2 \) и вертикальной линией \( x = \sqrt{3} \) (приблизительно 1.73) и горизонтальной линией \( y = 3 \).

На рисунке видно, что область ограничена снизу кривой \( y = x^2 \), слева осью \( y \) (т.е. \( x = 0 \)), сверху линией \( y = 3 \) и справа линией \( x = \sqrt{3} \).

Проверим точки на графике: при \( x = 1 \), \( y = 1^2 = 1 \). При \( x = 2 \), \( y = 2^2 = 4 \).

Закрашенная область ограничена осью \( y \) (т.е. \( x = 0 \)), кривой \( y = x^2 \) и прямой \( x = x_0 \), где \( y(x_0) = 3 \).

Исходя из графика, точка пересечения с \( y=3 \) имеет координату \( x \) между 1 и 2. Если \( x=
\sqrt{3} \), то \( y = (
\sqrt{3})^2 = 3 \).

Значит, нам нужно найти площадь фигуры, ограниченную \( x=0 \), \( y=x^2 \) и \( x=\sqrt{3} \) и \( y=3 \).

Площадь можно вычислить как интеграл от \( x = 0 \) до \( x = \sqrt{3} \) от \( 3 - x^2 \):

\[ S = \int_{0}^{\sqrt{3}} (3 - x^2) dx = \left[ 3x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} - \frac{(\sqrt{3})^3}{3} = 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{3} = 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Это значение не совпадает с предложенными вариантами.

Давайте проанализируем график и варианты ответа.

На графике закрашена область под прямой \( y = 3 \) и над кривой \( y = x^2 \), от \( x = 0 \) до \( x =
\sqrt{3} \).

Возможно, функция параболы отличается.

Рассмотрим другую интерпретацию. Если закрашенная область — это площадь под кривой \( y = x^2 \) от \( x = 1 \) до \( x = 2 \) с ограничением \( y=3 \) и \( x=2 \).

Попробуем подставить варианты ответов в какую-либо формулу.

Если функция \( y = ax^2+b \). Вершина в \( (0,0) \), значит \( b=0 \). \( y=ax^2 \).

Проверим точку \( (2, 4) \). \( 4 = a
\cdot 2^2 \Rightarrow 4a=4 \nRightarrow a=1 \). Функция \( y = x^2 \).

Тогда \( y=3 \) пересекает \( y=x^2 \) при \( x=\sqrt{3} \).

Закрашенная область на графике: слева \( x=0 \), справа \( x=\sqrt{3} \), снизу \( y=x^2 \), сверху \( y=3 \).

Площадь = \( \int_{0}^{\sqrt{3}} (3-x^2) dx = [3x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{\sqrt{3}} = 3
\sqrt{3} - \frac{3
\sqrt{3}}{3} = 3
\sqrt{3} -
\sqrt{3} = 2
\sqrt{3} \approx 3.46 \).

Рассмотрим другой вариант. Возможно, функция не \( y=x^2 \).

Если бы функция была \( y=ax+b \), то это была бы трапеция.

Если посмотреть на варианты ответа:

a. 7/3 \(\approx 2.33 \)

b. 9/2 \(= 4.5 \)

c. 7/2 \(= 3.5 \)

d. 10/3 \(\approx 3.33 \)

Наш расчет \( 2
\sqrt{3} \approx 3.46 \) близок к \( 7/2 = 3.5 \).

Проверим, если бы граница была \( x=2 \) и \( y=4 \).

Пусть функция - \( y = x^2 \). Закрашенная область: от \( x = 1 \) до \( x = 2 \), под \( y = 4 \) и над \( y = x^2 \).

\( S = \int_{1}^{2} (4 - x^2) dx = [4x - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = (8 - \frac{8}{3}) - (4 - \frac{1}{3}) = 8 - \frac{8}{3} - 4 + \frac{1}{3} = 4 - \frac{7}{3} = \frac{12-7}{3} = \frac{5}{3} \).

Это тоже не совпадает.

Посмотрим внимательно на рисунок. На оси X отмечены числа -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4. На оси Y отмечены числа 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Кривая проходит через \( (0,0) \) и \( (1,1) \) и \( (2,4) \) и \( (3,9) \). Значит, функция действительно \( y=x^2 \).

Закрашенная область: от \( x=0 \) до \( x=
\sqrt{3} \), ограничена сверху \( y=3 \).

Что если закрашена область под кривой \( y = x^2 \) от \( x = 1 \) до \( x=2 \) ИЛИ от \( x=1 \) до \( x=\sqrt{3} \) ?

Если область от \( x=0 \) до \( x=2 \) под \( y=x^2 \) и ограничена \( y=3 \).

Let's assume the function is \( y=x^2 \). The shaded region is bounded by \( y=x^2 \), \( x=0 \), and the line \( y=3 \). The right boundary of the shaded region is where \( x^2 = 3 \), which means \( x=\sqrt{3} \). So the area is \( \int_{0}^{\sqrt{3}} (3-x^2) dx \), which we calculated as \( 2
\sqrt{3} \approx 3.46 \).

Looking at the options, \( 7/2 = 3.5 \) is the closest. It's possible the intended function or region is slightly different or the question expects an approximation.

Let's check if any other simple function could result in these areas.

If the area was from \( x=1 \) to \( x=2 \) under \( y=3 \) and above \( y=x^2 \): \( \int_{1}^{2} (3-x^2) dx = [3x - x^3/3]_1^2 = (6-8/3) - (3-1/3) = 6 - 8/3 - 3 + 1/3 = 3 - 7/3 = 2/3 \).

Let's reconsider the visible boundaries. The shaded region starts at \( x=0 \) and ends at \( x=\sqrt{3} \) (where \( y=3 \)). The lower bound is \( y=x^2 \) and the upper bound is \( y=3 \).

Is it possible that the question implies the area under \( y=3 \) from \( x=0 \) to \( x=2 \) MINUS the area under \( y=x^2 \) from \( x=0 \) to \( x=2 \) but capped at \( y=3 \)?

Let's assume the area is composed of a rectangle and a segment. The rectangle has corners at (0,0), (\(\sqrt{3}\),0), (\(\sqrt{3}\),3), (0,3). Area = \( 3
\sqrt{3} \).

The shaded region is described as