9. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 3^(1+2cos x sin x) = 3√3.

Решение:

Для решения данного уравнения, сначала приведем обе части к одному основанию. Известно, что \( \sqrt{3} = 3^{1/2} \).

Таким образом, уравнение примет вид:

\[ 3^{1 + 2 \cos x \sin x} = 3 \cdot 3^{1/2} \]\[ 3^{1 + 2 \cos x \sin x} = 3^{1 + 1/2} \]\[ 3^{1 + 2 \cos x \sin x} = 3^{3/2} \]

Теперь, когда основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

\[ 1 + 2 \cos x \sin x = \frac{3}{2} \]

Избавимся от единицы в левой части:

\[ 2 \cos x \sin x = \frac{3}{2} - 1 \]\[ 2 \cos x \sin x = \frac{1}{2} \]

Воспользуемся формулой двойного угла для синуса: \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \).

Подставим ее в уравнение:

\[ \sin(2x) = \frac{1}{2} \]

Найдем значения \( 2x \), для которых синус равен \( 1/2 \). Основные решения:

\[ 2x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad 2x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Разделим обе части на 2, чтобы найти \( x \):

\[ x = \frac{\pi}{12} + \pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \quad \text{где} \quad k \in \mathbb{Z} \]

Нам нужно найти наибольший отрицательный корень. Рассмотрим оба семейства решений:

Семейство 1: \( x = \frac{\pi}{12} + \pi k \)

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{12} \) (положительный).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{\pi}{12} - \pi = \frac{\pi - 12\pi}{12} = -\frac{11\pi}{12} \) (отрицательный).
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{\pi}{12} - 2\pi = \frac{\pi - 24\pi}{12} = -\frac{23\pi}{12} \) (еще более отрицательный).

Семейство 2: \( x = \frac{5\pi}{12} + \pi k \)

• При \( k = 0 \): \( x = \frac{5\pi}{12} \) (положительный).
• При \( k = -1 \): \( x = \frac{5\pi}{12} - \pi = \frac{5\pi - 12\pi}{12} = -\frac{7\pi}{12} \) (отрицательный).
• При \( k = -2 \): \( x = \frac{5\pi}{12} - 2\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{12} = -\frac{19\pi}{12} \) (еще более отрицательный).

Сравним отрицательные корни:

• \( -\frac{11\pi}{12} \)
• \( -\frac{7\pi}{12} \)

Чтобы найти наибольший отрицательный корень, нужно выбрать тот, у которого абсолютное значение меньше. \( \frac{7\pi}{12} < \frac{11\pi}{12} \), следовательно, \( -\frac{7\pi}{12} > -\frac{11\pi}{12} \).

Наибольшим отрицательным корнем является \( -\frac{7\pi}{12} \).

Ответ: \( -\frac{7\pi}{12} \).