9. Найди сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел: z₁ = 3 - 4i, z₂ = -5 + 7i.

Решение:

Даны комплексные числа: \( z_1 = 3 - 4i \) и \( z_2 = -5 + 7i \).

1. Сумма:

\[ z_1 + z_2 = (3 - 4i) + (-5 + 7i) = (3 - 5) + (-4 + 7)i = -2 + 3i \]

2. Разность:

\[ z_1 - z_2 = (3 - 4i) - (-5 + 7i) = (3 - (-5)) + (-4 - 7)i = (3 + 5) + (-11)i = 8 - 11i \]

3. Произведение:

\[ z_1 \cdot z_2 = (3 - 4i)(-5 + 7i) = 3(-5) + 3(7i) - 4i(-5) - 4i(7i) \]

\[ = -15 + 21i + 20i - 28i^2 \]

\[ = -15 + 41i - 28(-1) \]

\[ = -15 + 41i + 28 = 13 + 41i \]

4. Частное:

\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 - 4i}{-5 + 7i} \]

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число ( \( -5 - 7i \) ):

\[ \frac{(3 - 4i)(-5 - 7i)}{(-5 + 7i)(-5 - 7i)} = \frac{3(-5) + 3(-7i) - 4i(-5) - 4i(-7i)}{(-5)^2 - (7i)^2} \]

\[ = \frac{-15 - 21i + 20i + 28i^2}{25 - 49i^2} \]

\[ = \frac{-15 - i + 28(-1)}{25 - 49(-1)} = \frac{-15 - i - 28}{25 + 49} \]

\[ = \frac{-43 - i}{74} = -\frac{43}{74} - \frac{1}{74}i \]

Ответ:

Сумма: \( -2 + 3i \)

Разность: \( 8 - 11i \)

Произведение: \( 13 + 41i \)

Частное: \( -\frac{43}{74} - \frac{1}{74}i \)