9. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t) = t^3/3 - 4t^2 + 21t - 6 (время измеряется в секундах, расстояние – в метрах). В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость? Найдите эту скорость.

Решение:

Скорость точки является первой производной от её положения по времени. Найдем скорость \( v(t) \), взяв производную от функции \( s(t) \):

\[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3} - 4t^2 + 21t - 6\right) \]\[ v(t) = \frac{3t^2}{3} - 8t + 21 \]\[ v(t) = t^2 - 8t + 21 \]

Чтобы найти момент времени, когда скорость минимальна, найдем вторую производную от \( s(t) \) (или первую производную от \( v(t) \)) и приравняем её к нулю:

\[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 8t + 21) \]\[ a(t) = 2t - 8 \]

Приравниваем ускорение к нулю, чтобы найти критическую точку:

\[ 2t - 8 = 0 \]\[ 2t = 8 \]\[ t = 4 \]

Проверим, является ли эта точка минимумом, найдя третью производную или проанализировав поведение второй производной:

\[ v''(t) = a'(t) = 2 \]

Так как \( v''(t) = 2 > 0 \), то при \( t = 4 \) скорость минимальна.

Теперь найдем минимальную скорость, подставив \( t = 4 \) в функцию скорости \( v(t) \):

\[ v(4) = (4)^2 - 8(4) + 21 \]\[ v(4) = 16 - 32 + 21 \]\[ v(4) = -16 + 21 \]\[ v(4) = 5 \]

Ответ: Наименьшая скорость достигается в момент времени 4 секунды, и эта скорость равна 5 м/с.