9. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=t^3/3-3t^2+15t-7 (время измеряется в секундах, расстояние — в метрах). В какой момент времени точка имеет наименьшую скорость? Найдите эту скорость.

Решение:

1. Найдем скорость точки как первую производную от закона движения:
   \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^3}{3} - 3t^2 + 15t - 7 \right) \)
2. Производная равна:
   \( v(t) = t^2 - 6t + 15 \)
3. Чтобы найти наименьшую скорость, найдем производную от скорости (ускорение) и приравняем ее к нулю:
   \( a(t) = v'(t) = 2t - 6 \)
4. Приравниваем ускорение к нулю:
   \( 2t - 6 = 0 \)
   \( 2t = 6 \)
   \( t = 3 \) секунды.
5. Чтобы убедиться, что это минимум, проверим вторую производную (она же производная от ускорения):
   \( v''(t) = 2 \). Поскольку \( v''(t) > 0 \), то в точке \( t = 3 \) достигается минимум скорости.
6. Найдем значение скорости в этот момент времени:
   \( v(3) = (3)^2 - 6(3) + 15 = 9 - 18 + 15 = 6 \) м/с.

Ответ: Наименьшая скорость достигается в момент времени \( t = 3 \) секунды, и эта скорость равна \( 6 \) м/с.