9. Какую скорость нужно сообщить искусственном / спутнику Луны, чтобы он двигался вокруг нее по круговой орбите на высоте 100 км? Масса Луны 7,3•10²² кг, а ее радиус 1,7•10⁶ м.

1. Дано:

• \[ h = 100 \text{ км} = 100000 \text{ м} \]
• \[ M_L = 7,3  10^{22} \text{ кг} \]
• [ R_L = 1,7  10^6 \(\text{ м}\) \]
• [ G \(\approx\) 6,67  10^{-11} \(\text{ Н}\) \(\cdot\) \(\text{м}\)^2/\(\text{кг}\)^2 \(\text{ (гравитационная постоянная)}\) \]

Найти:

• \[ v \text{ - ?} \]

Решение:

Для движения по круговой орбите центростремительная сила равна силе гравитационного притяжения:

[ F_{цс} = F_{гр} \]

[ \(\frac{mv^2}{r}\) = G \(\frac{Mm}{r^2}\) \]

где

• [ m \] - масса спутника
• [ M \] - масса Луны
• [ r \] - радиус орбиты (расстояние от центра Луны до спутника)

1. Найдем радиус орбиты:

• [ r = R_L + h \]
• [ r = 1,7  10^6 \(\text{ м}\) + 100000 \(\text{ м}\) = 1,7  10^6 \(\text{ м}\) + 0,1  10^6 \(\text{ м}\) = 1,8  10^6 \(\text{ м}\) \]

2. Упростим формулу и найдем скорость:

• [ \(\frac{v^2}{r}\) = G \(\frac{M}{r^2}\) \]
• [ v^2 = G \(\frac{M}{r}\) \]
• [ v = \(\sqrt\){G \(\frac{M}{r}\)} \]

3. Подставим значения:

• [ v = \(\sqrt\){6,67  10^{-11} \(\frac\){\(\text{Н}\) \(\cdot\) \(\text{м}\)^2}{\(\text{кг}\)^2} \(\cdot\) \(\frac\){7,3  10^{22} \(\text{ кг}\)}{1,8  10^6 \(\text{ м}\)}} \]
• [ v = \(\sqrt\){6,67  10^{-11} \(\cdot\) 4,055  10^{16}} \(\text{ м/с}\) \]
• [ v = \(\sqrt\){27,056  10^{5}} \(\text{ м/с}\) \]
• [ v = \(\sqrt{2705600}\) \(\text{ м/с}\) \(\approx\) 1645 \(\text{ м/с}\) \]

Ответ: ≈ 1645 м/с