9. Какое наименьшее число членов прогрессии 32,5; 37,5; 42,5; ... нужно взять, чтобы их сумма была больше 2160?

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе. У нас есть арифметическая прогрессия, где первый член a_1 = 32.5, а разность d = 37.5 - 32.5 = 5. Нам нужно найти наименьшее количество членов прогрессии (n), чтобы их сумма S_n была больше 2160.

Формула суммы первых n членов арифметической прогрессии выглядит так:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \times n \]

Подставим наши значения:

\[ \frac{2 \times 32.5 + (n-1)5}{2} \times n > 2160 \]

\[ \frac{65 + 5n - 5}{2} \times n > 2160 \]

\[ \frac{60 + 5n}{2} \times n > 2160 \]

\[ (60 + 5n)n > 4320 \]

\[ 60n + 5n^2 > 4320 \]

\[ 5n^2 + 60n - 4320 > 0 \]

Разделим всё на 5, чтобы упростить:

\[ n^2 + 12n - 864 > 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение n^2 + 12n - 864 = 0, чтобы найти корни. Воспользуемся дискриминантом:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4(1)(-864) = 144 + 3456 = 3600 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{3600} = 60 \]

Найдем корни:

\[ n_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 60}{2} = \frac{-72}{2} = -36 \]

\[ n_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 60}{2} = \frac{48}{2} = 24 \]

Получили два корня: -36 и 24. Нас интересует неравенство n^2 + 12n - 864 > 0. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется при n < -36 или n > 24.

Поскольку количество членов прогрессии (n) не может быть отрицательным, мы выбираем вариант n > 24.

Значит, наименьшее целое число n, удовлетворяющее условию, — это 25.

Ответ: 25