9. Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведены медиана СМ и биссектриса CD. Найдите угол DCM, если угол АВС=35°

Решение:

Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90°\), \(\angle B = 35°\). CM — медиана, CD — биссектриса.

Найти: \(\angle DCM\).

1. Находим углы в \(\triangle ABC\).

Сумма углов треугольника равна 180°.

\(\angle A + \angle B + \angle C = 180°\)

\(\angle A + 35° + 90° = 180°\)

\(\angle A + 125° = 180°\)

\(\angle A = 180° - 125° = 55°\).

2. Находим \(\angle BCD\) и \(\angle ACD\) (так как CD — биссектриса).

Биссектриса CD делит угол C на два равных угла.

\(\angle BCD = \angle ACD = \frac{\angle C}{2} = \frac{90°}{2} = 45°\).

3. Находим \(\angle DCM\).

CM — медиана, значит, M — середина стороны AB.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть \(CM = AM = MB\).

Рассмотрим \(\triangle CMB\). Так как \(CM = MB\), то \(\triangle CMB\) — равнобедренный.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

\(\angle MCB = \angle MBC = \angle B = 35°\).

Теперь мы можем найти \(\angle DCM\).

\(\angle DCM = \angle BCD - \angle MCB\)

\(\angle DCM = 45° - 35° = 10°\).

Ответ: 10°.