9. Докажите, что при всяком нечётном значении x число \(x^3+3x^2-x-3\) делится на 48.

Разложим выражение на множители группировкой:

\(x^3+3x^2-x-3=x^2(x+3)-(x+3)=(x^2-1)(x+3)=(x-1)(x+1)(x+3)\).

Так как \(x\) нечётное, числа \(x-1\) и \(x+1\) — чётные, причём одно из них делится на 4. Поэтому их произведение делится на 8. Число \(x+3\) также чётное, значит всё произведение делится на 16.

Среди трёх чисел \(x-1\), \(x+1\), \(x+3\) обязательно есть число, делящееся на 3: при любом остатке \(x\) при делении на 3 один из остатков этих чисел равен 0. Следовательно, произведение делится на 3.

Так как числа 16 и 3 взаимно просты, произведение делится на \(16\cdot3=48\).

Ответ: \(x^3+3x^2-x-3\) делится на 48 при любом нечётном целом \(x\).