9. Дано: окружность с центром O. AB - хорда, равная 14. Угол B равен 45 градусов. Найти: расстояние от центра O до хорды AB.

Решение:

1. Построение: Проведем радиус OB. Так как OB — радиус, то все радиусы равны.
2. Треугольник OAB: Треугольник OAB — равнобедренный, так как OA = OB (радиусы).
3. Углы равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Угол A = Угол B = 45 градусов.
4. Угол O: Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Угол AOB = 180 - (45 + 45) = 180 - 90 = 90 градусов.
5. Высота к основанию: Проведем высоту OM из центра O к хорде AB. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
6. Длина AM: OM делит хорду AB пополам. AM = MB = AB / 2 = 14 / 2 = 7.
7. Треугольник OMB: Треугольник OMB — прямоугольный (угол OMA = 90 градусов). Угол OBM = 45 градусов.
8. Треугольник OMB (углы): Так как угол OBM = 45 градусов, а угол OMB = 90 градусов, то угол BOM = 180 - 90 - 45 = 45 градусов.
9. Треугольник OMB (равнобедренный): Треугольник OMB — равнобедренный (углы при основании равны). Следовательно, OM = MB = 7.

Ответ: 7