9. (16 баллов) Решить уравнение: \(\sqrt{5x-4} = x\)

Решение:

Дано уравнение: \(\sqrt{5x-4} = x\).

1. Возведём обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \( (\sqrt{5x-4})^2 = x^2 \)
2. Получаем: \( 5x - 4 = x^2 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 5x + 4 = 0 \)
4. Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня. Найдём корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)
6. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
7. Проверим найденные корни в исходном уравнении \(\sqrt{5x-4} = x\):
• Для \( x_1 = 4 \): \(\sqrt{5 \cdot 4 - 4} = \sqrt{20 - 4} = \sqrt{16} = 4 \). \( 4 = 4 \). Корень подходит.
• Для \( x_2 = 1 \): \(\sqrt{5 \cdot 1 - 4} = \sqrt{5 - 4} = \sqrt{1} = 1 \). \( 1 = 1 \). Корень подходит.

Ответ: x = 4, x = 1.