9. (1 балл) На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Решение:

Значение производной функции в точке \( x_0 \) равно тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Угол наклона касательной можно найти, определив тангенс угла, образованного касательной и положительным направлением оси абсцисс.

Рассмотрим треугольник, образованный касательной и линиями сетки. Касательная проходит через точки \( (-1, -1) \) и \( (1, 3) \) на графике. Изменение по оси \( y \) равно \( 3 - (-1) = 4 \). Изменение по оси \( x \) равно \( 1 - (-1) = 2 \).

Тангенс угла наклона равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\( k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{4}{2} = 2 \).

Значение производной функции \( f'(x_0) \) равно коэффициенту наклона касательной.

Ответ: \( f'(x_0) = 2 \).