864 Найдите значение выражения: a) 2 sin 165° cos 165°; б) cos² 75°-sin² 75°; в) \(\frac{2 \text{tg } 240^{\circ}}{1-\text{tg}^2 240^{\circ}}\)

Решение:

• Для решения будем использовать формулы синуса двойного угла \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \) и косинуса двойного угла \( \cos(2\alpha) = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha \), а также формулу тангенса двойного угла \( \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1-\text{tg}^2 \alpha} \).
• а) Выражение \( 2 \sin 165^{\circ} \cos 165^{\circ} \). Это соответствует формуле синуса двойного угла, где \( \alpha = 165^{\circ} \). Таким образом, \( 2 \sin 165^{\circ} \cos 165^{\circ} = \sin(2 \cdot 165^{\circ}) = \sin 330^{\circ} \). \( \sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2} \).
• б) Выражение \( \cos^2 75^{\circ}-\sin^2 75^{\circ} \). Это соответствует формуле косинуса двойного угла, где \( \alpha = 75^{\circ} \). Таким образом, \( \cos^2 75^{\circ}-\sin^2 75^{\circ} = \cos(2 \cdot 75^{\circ}) = \cos 150^{\circ} \). \( \cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).
• в) Выражение \(\frac{2 \text{tg } 240^{\circ}}{1-\text{tg}^2 240^{\circ}}\). Это соответствует формуле тангенса двойного угла, где \( \alpha = 240^{\circ} \). Таким образом, \(\frac{2 \text{tg } 240^{\circ}}{1-\text{tg}^2 240^{\circ}} = \text{tg}(2 \cdot 240^{\circ}) = \text{tg } 480^{\circ}\). \( \text{tg } 480^{\circ} = \text{tg}(480^{\circ} - 360^{\circ}) = \text{tg } 120^{\circ} \). \( \text{tg } 120^{\circ} = \text{tg}(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\text{tg } 60^{\circ} = -\sqrt{3} \).

Ответ: а) \( -\frac{1}{2} \) б) \( -\frac{\sqrt{3}}{2} \) в) \( -\sqrt{3} \)