863 Упростите: a) \(\frac{2 \text{tg } 5^{\circ}}{1-\text{tg}^2 5^{\circ}}\) б) \(\frac{4 \text{tg } 15^{\circ}}{1-\text{tg}^2 15^{\circ}}\) в) \(\frac{\text{tg } 75^{\circ}}{1-\text{tg}^2 75^{\circ}}\)

Решение:

• Для решения данного задания будем использовать формулу тангенса двойного угла: \( \text{tg}(2\alpha) = \frac{2 \text{tg } \alpha}{1-\text{tg}^2 \alpha} \).
• а) Применим формулу к выражению \(\frac{2 \text{tg } 5^{\circ}}{1-\text{tg}^2 5^{\circ}}\). Здесь \( \alpha = 5^{\circ} \). Следовательно, \(\frac{2 \text{tg } 5^{\circ}}{1-\text{tg}^2 5^{\circ}} = \text{tg}(2 \cdot 5^{\circ}) = \text{tg } 10^{\circ}\).
• б) Выражение \(\frac{4 \text{tg } 15^{\circ}}{1-\text{tg}^2 15^{\circ}}\). Обратим внимание, что числитель равен \(2 \cdot (2 \text{tg } 15^{\circ})\). Применим дважды формулу тангенса двойного угла. \(\frac{4 \text{tg } 15^{\circ}}{1-\text{tg}^2 15^{\circ}} = 2 \cdot \frac{2 \text{tg } 15^{\circ}}{1-\text{tg}^2 15^{\circ}} = 2 \cdot \text{tg}(2 \cdot 15^{\circ}) = 2 \cdot \text{tg } 30^{\circ}\). Значение \( \text{tg } 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \). Таким образом, \( 2 \cdot \text{tg } 30^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
• в) Выражение \(\frac{\text{tg } 75^{\circ}}{1-\text{tg}^2 75^{\circ}}\). Здесь \( \alpha = 75^{\circ} \). Применим формулу тангенса двойного угла: \(\frac{\text{tg } 75^{\circ}}{1-\text{tg}^2 75^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \text{tg } 75^{\circ}}{1-\text{tg}^2 75^{\circ}} = \frac{1}{2} \cdot \text{tg}(2 \cdot 75^{\circ}) = \frac{1}{2} \cdot \text{tg } 150^{\circ}\). Значение \( \text{tg } 150^{\circ} = \text{tg}(180^{\circ}-30^{\circ}) = -\text{tg } 30^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} \). Таким образом, \( \frac{1}{2} \cdot \text{tg } 150^{\circ} = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{6} \).

Ответ: а) \( \text{tg } 10^{\circ} \) б) \( \frac{2\sqrt{3}}{3} \) в) \( -\frac{\sqrt{3}}{6} \)