860. Найдите область определения функции: a) y = \(\sqrt{7-14x} / (x+8)\) б) y = 6 / \(\sqrt{4-x-1}\)

Решение:

Чтобы найти область определения функции, нужно учесть два условия:

• Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
• Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

а) \(y = \frac{\sqrt{7-14x}}{x+8}\)

1. Условие для корня: \(7 - 14x \ge 0\)
   \(-14x \ge -7\)
   \(14x \le 7\)
   \(x \le \frac{7}{14}\)
   \(x \le \frac{1}{2}\)
2. Условие для знаменателя: \(x + 8
   e 0\)
   \(x
   e -8\)
3. Объединяем условия: \(x \le \frac{1}{2}\) и \(x
   e -8\)

Область определения для а): \( (-\infty; -8) \cup (-8; \frac{1}{2}] \)

б) \(y = \frac{6}{\sqrt{4-x-1}}\)

Примечание: Предполагается, что выражение под корнем равно 4-x-1, а не 4-(x-1). Если это не так, результат будет отличаться.

1. Условие для корня: \(4 - x - 1 > 0\) (строго больше нуля, так как корень в знаменателе)
   \(3 - x > 0\)
   \(-x > -3\)
   \(x < 3\)
2. Условие для знаменателя: \(\sqrt{4-x-1}
   e 0\)
   \(4-x-1
   e 0\)
   \(3-x
   e 0\)
   \(x
   e 3\)
3. Объединяем условия: \(x < 3\) и \(x
   e 3\). Эти условия эквивалентны \(x < 3\).

Область определения для б): \( (-\infty; 3) \)

Ответ:

• а) \( (-\infty; -8) \cup (-8; \frac{1}{2}] \)
• б) \( (-\infty; 3) \)