806. Найдите целые решения системы неравенств: a) {(3x + 2)² ≥ (3x - 1)(3x + 1) – 31, (2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)² - 14; б) {(5x - 2)² + 36 > 5x(5x - 3), 3x(4x + 2) + 40 ≤ 4x(3x + 7) – 4.

Решение системы неравенств 806:

а)

1. \[ (3x + 2)^2 ≥ (3x - 1)(3x + 1) - 31 \]

\[ 9x^2 + 12x + 4 ≥ 9x^2 - 1 - 31 \]

\[ 9x^2 + 12x + 4 ≥ 9x^2 - 32 \]

\[ 12x + 4 ≥ -32 \]

\[ 12x ≥ -36 \]

\[ x ≥ -3 \]

2. \[ (2x - 3)(8x + 5) < (4x - 3)^2 - 14 \]

\[ 16x^2 + 10x - 24x - 15 < 16x^2 - 24x + 9 - 14 \]

\[ 16x^2 - 14x - 15 < 16x^2 - 24x - 5 \]

\[ -14x - 15 < -24x - 5 \]

\[ -14x + 24x < 15 - 5 \]

\[ 10x < 10 \]

\[ x < 1 \]

Объединяем решения: ≥ -3 ≤ x < 1. Целые решения: -3, -2, -1, 0.

б)

1. \[ (5x - 2)^2 + 36 > 5x(5x - 3) \]

\[ 25x^2 - 20x + 4 + 36 > 25x^2 - 15x \]

\[ 25x^2 - 20x + 40 > 25x^2 - 15x \]

\[ -20x + 40 > -15x \]

\[ 40 > 5x \]

\[ 8 > x \]

\[ x < 8 \]

2. \[ 3x(4x + 2) + 40 ≤ 4x(3x + 7) - 4 \]

\[ 12x^2 + 6x + 40 ≤ 12x^2 + 28x - 4 \]

\[ 6x + 40 ≤ 28x - 4 \]

\[ 40 + 4 ≤ 28x - 6x \]

\[ 44 ≤ 22x \]

\[ 2 ≤ x \]

\[ x ≥ 2 \]

Объединяем решения: ≥ 2 ≤ x < 8. Целые решения: 2, 3, 4, 5, 6, 7.