80 Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр.

Решение:

Дано:

• Окружность с центром O и диаметром AB.
• Точка C на окружности.
• CD — перпендикуляр к AB, где D — точка на AB.

Доказать: CD² = AD × DB.

Доказательство:

1. Вписанный угол: Угол ACB вписан в окружность и опирается на диаметр AB. Следовательно, ACB — прямой угол (90°).
2. Прямоугольный треугольник: Треугольник ACB является прямоугольным с высотой CD, проведённой из вершины прямого угла к гипотенузе.
3. Свойства высоты в прямоугольном треугольнике: В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой из вершины прямого угла, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу.
4. Применение теоремы: В нашем случае, CD² = AD × DB.

Вывод: Теорема доказана. Перпендикуляр (высота CD) является средним пропорциональным для отрезков диаметра (гипотенузы AB), на которые он его делит (AD и DB).