80 AB = 10, BC = 8. Найдите x - y.

Дано: Треугольник ABC. В треугольник вписана окружность. AB = 10, BC = 8. Точки касания делят стороны на отрезки: AK = x, KC = y, CM = ?, MB = ?.

Найти: x - y.

Решение:

1. Свойства касательных: Из одной точки, проведенные к окружности, касательные равны.
2. Обозначения: Пусть точки касания на сторонах AB, BC, AC будут P, Q, R соответственно.
3. Отрезки:
• Пусть AP = AR = x (по условию x - это AK, но на рисунке K - точка касания на AC, поэтому будем считать, что AK=x).
• Пусть CP = CQ = y (по условию y - это KC, на рисунке K - точка касания на AC, поэтому будем считать, что CK=y).
• Пусть BP = BQ.
4. Данные:
• AB = 10
• BC = 8
5. Стороны через отрезки:
• AB = AP + PB = x + PB = 10 => PB = 10 - x
• BC = BQ + QC = BQ + y = 8 => BQ = 8 - y
• AC = AR + RC = x + y
6. Применение свойства касательных: Так как BP = BQ, то:
$$10 - x = 8 - y$$
7. Преобразование уравнения:
$$10 - 8 = x - y$$
8. Вычисление:
$$2 = x - y$$

Ответ: 2