8. Замените звездочки двумя одинаковыми цифрами так, чтобы: а) число 2**2 делилось на 3; б) число *6*3 делилось на 9; в) число 4*2* делилось на 3 и на 10.

Решение:

а) число 22 делилось на 3;

Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Заменим звездочки одинаковой цифрой \( x \). Получаем число \( 2xx2 \). Сумма цифр: \( 2 + x + x + 2 = 4 + 2x \).

Подставим возможные значения \( x \) от 0 до 9:

• Если \( x = 0 \): \( 4 + 2 \cdot 0 = 4 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 1 \): \( 4 + 2 \cdot 1 = 6 \) (делится на 3)
• Если \( x = 2 \): \( 4 + 2 \cdot 2 = 8 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 3 \): \( 4 + 2 \cdot 3 = 10 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 4 \): \( 4 + 2 \cdot 4 = 12 \) (делится на 3)
• Если \( x = 5 \): \( 4 + 2 \cdot 5 = 14 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 6 \): \( 4 + 2 \cdot 6 = 16 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 7 \): \( 4 + 2 \cdot 7 = 18 \) (делится на 3)
• Если \( x = 8 \): \( 4 + 2 \cdot 8 = 20 \) (не делится на 3)
• Если \( x = 9 \): \( 4 + 2 \cdot 9 = 22 \) (не делится на 3)

Возможные цифры для замены звездочек: 1, 4, 7.

б) число *6*3 делилось на 9;

Для того чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна делиться на 9. Заменим звездочки одинаковой цифрой \( y \). Получаем число \( y6y3 \). Сумма цифр: \( y + 6 + y + 3 = 2y + 9 \).

Подставим возможные значения \( y \) от 1 до 9 (так как первая цифра не может быть 0):

• Если \( y = 1 \): \( 2 \cdot 1 + 9 = 11 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 2 \): \( 2 \cdot 2 + 9 = 13 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 3 \): \( 2 \cdot 3 + 9 = 15 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 4 \): \( 2 \cdot 4 + 9 = 17 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 5 \): \( 2 \cdot 5 + 9 = 19 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 6 \): \( 2 \cdot 6 + 9 = 21 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 7 \): \( 2 \cdot 7 + 9 = 23 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 8 \): \( 2 \cdot 8 + 9 = 25 \) (не делится на 9)
• Если \( y = 9 \): \( 2 \cdot 9 + 9 = 27 \) (делится на 9)

Единственная цифра для замены звездочек: 9.

в) число 4*2* делилось на 3 и на 10.

Для того чтобы число делилось на 10, оно должно оканчиваться на 0. Значит, последняя звездочка — это 0.

Получаем число \( 4 * 20 \). Заменим первую звездочку цифрой \( z \). Число \( 4z20 \).

Для того чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3. Сумма цифр: \( 4 + z + 2 + 0 = 6 + z \).

Подставим возможные значения \( z \) от 0 до 9:

• Если \( z = 0 \): \( 6 + 0 = 6 \) (делится на 3)
• Если \( z = 1 \): \( 6 + 1 = 7 \) (не делится на 3)
• Если \( z = 2 \): \( 6 + 2 = 8 \) (не делится на 3)
• Если \( z = 3 \): \( 6 + 3 = 9 \) (делится на 3)
• Если \( z = 4 \): \( 6 + 4 = 10 \) (не делится на 3)
• Если \( z = 5 \): \( 6 + 5 = 11 \) (не делится на 3)
• Если \( z = 6 \): \( 6 + 6 = 12 \) (делится на 3)
• Если \( z = 7 \): \( 6 + 7 = 13 \) (не делится на 3)
• Если \( z = 8 \): \( 6 + 8 = 14 \) (не делится на 3)
• Если \( z = 9 \): \( 6 + 9 = 15 \) (делится на 3)

Возможные цифры для первой звездочки: 0, 3, 6, 9.

Ответ:

а) 2112, 2442, 2772;

б) 9693;

в) 4020, 4320, 4620, 4920.