8^x + 2^x = 68

Решение:

Заметим, что \( 8^x = (2^3)^x = 2^{3x} = (2^x)^3 \).

Пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^3 + y = 68 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ y^3 + y - 68 = 0 \]

Подберём целый корень уравнения. Попробуем подставить \( y = 4 \):

\[ 4^3 + 4 - 68 = 64 + 4 - 68 = 68 - 68 = 0 \]

Значит, \( y = 4 \) является корнем уравнения. Теперь подставим обратно \( 2^x \):

\[ 2^x = 4 \]

Так как \( 4 = 2^2 \), то:

\[ 2^x = 2^2 \]

Следовательно, \( x = 2 \).

Проверим решение:

\[ 8^2 + 2^2 = 64 + 4 = 68 \]

Решение верное.

Ответ: x = 2.