8. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известны стороны и диагональ: AB = 60, BC = 28, CD = 96, AD = 80 и BD = 100. Докажите, что около этого четырёхугольника можно описать окружность.

Решение:

Чтобы доказать, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность, нужно показать, что сумма противоположных углов равна 180 градусов, или что существует точка, равноудалённая от всех вершин.

Рассмотрим треугольники, образованные диагональю BD.

1. Рассмотрим треугольник ABD:
• Стороны: \( AB = 60 \), \( AD = 80 \), \( BD = 100 \).
• Проверим, является ли треугольник ABD прямоугольным, используя теорему Пифагора: \( AB^2 + AD^2 = 60^2 + 80^2 = 3600 + 6400 = 10000 \). \( BD^2 = 100^2 = 10000 \).
• Так как \( AB^2 + AD^2 = BD^2 \), то треугольник ABD — прямоугольный, и \( \angle A = 90^{\circ} \).
2. Рассмотрим треугольник BCD:
• Стороны: \( BC = 28 \), \( CD = 96 \), \( BD = 100 \).
• Проверим, является ли треугольник BCD прямоугольным, используя теорему Пифагора: \( BC^2 + CD^2 = 28^2 + 96^2 = 784 + 9216 = 10000 \). \( BD^2 = 100^2 = 10000 \).
• Так как \( BC^2 + CD^2 = BD^2 \), то треугольник BCD — прямоугольный, и \( \angle C = 90^{\circ} \).
3. Сделаем вывод:
• Мы доказали, что \( \angle A = 90^{\circ} \) и \( \angle C = 90^{\circ} \).
• Сумма противоположных углов четырёхугольника ABCD равна: \( \angle A + \angle C = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
• Четырёхугольник, у которого сумма противоположных углов равна 180 градусов, является вписанным в окружность.

Доказано.