8. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен половине гипотенузы. Докажите, что угол, противолежащий этому катету, равен 30°. Доказательство. Пусть в треугольнике МРТ ∠P = 90° и РТ = 1/2 МТ. 1) Отложим на луче ТР отрезок РЕ, равный отрезку ТР (выполните построение). 2) Рассмотрим треугольники МРТ и МРЕ. MP — общая сторона; PT = PE — по условию; ∠MPT = ∠MPE = 90°, так как они равны; Значит, ΔМРЕ = ΔМРТ по первому признаку равенства треугольников и поэтому МЕ = МТ. 3) Итак, ME = MT = 2 PT = TE и ΔMTE — равносторонний, а MP — его высота и биссектриса. Поэтому ∠TMP = 1/2 ∠TME = 60° - 60°.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: По условию задачи, в прямоугольном треугольнике МРТ, катет РТ равен половине гипотенузы МТ. Это означает, что угол, противолежащий катету РТ, равен 30°. То есть, ∠РМТ = 30°.
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник МТР. У нас есть ∠P = 90°, ∠РМТ = 30°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠МТР = 180° - 90° - 30° = 60°.
3. Шаг 3: На луче ТР отложим отрезок РЕ, равный отрезку ТР.
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольники МРТ и МРЕ. У нас есть: MP — общая сторона; PT = PE (по построению); ∠MPT = ∠MPE = 90° (по условию). Следовательно, ΔМРТ = ΔМРЕ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
5. Шаг 5: Из равенства треугольников следует, что МТ = МЕ.
6. Шаг 6: Так как PT = PE, то TE = 2PT. А поскольку PT = 1/2 MT, то TE = 2 * (1/2 MT) = MT. Таким образом, MT = ME = TE. Это означает, что треугольник MTE является равносторонним.
7. Шаг 7: В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Следовательно, ∠MTE = ∠MET = ∠TME = 60°.
8. Шаг 8: MP является высотой и биссектрисой в равностороннем треугольнике MTE (так как он проведен из вершины M к основанию TE и перпендикулярен ему, а также делит угол TME пополам).
9. Шаг 9: Угол ∠TMP является частью угла ∠TME. Так как MP — биссектриса ∠TME, то ∠TMP = ∠TME / 2 = 60° / 2 = 30°.

Ответ: Доказано, что угол, противолежащий катету, равному половине гипотенузы, равен 30°.