8. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Теорема о циркуляции для магнитного поля в вакууме. Расчет величины магнитной индукции бесконечно длинного проводника с током.

Решение:

8. Циркуляция вектора индукции магнитного поля

Циркуляция вектора магнитной индукции \( \vec{B} \) по произвольному замкнутому контуру \( L \) определяется как:

\[ \oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} \]

Теорема о циркуляции для магнитного поля в вакууме

Эта теорема (также известная как теорема о циркуляции магнитного поля или закон Ампера в интегральной форме) связывает циркуляцию вектора \( \vec{B} \) по замкнутому контуру с полным током, пронизывающим этот контур:

\[ \oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{скв} \]

где:

• \( \mu_0 \) — магнитная постоянная (\( 4\pi \times 10^{-7} \) Тл·м/А);
• \( I_{скв} \) — полный ток, пронизывающий поверхность, ограниченную контуром \( L \).

Расчет величины магнитной индукции бесконечно длинного проводника с током

Для расчета магнитной индукции \( B \) бесконечно длинного прямого проводника с током \( I \) применим теорему о циркуляции. Выберем в качестве контура \( L \) окружность радиусом \( r \), центром которой является проводник. Вектор \( \vec{B} \) в любой точке этой окружности будет касателен к ней и иметь одинаковую величину. Элемент длины \( d\vec{l} \) также будет касателен к окружности.

Таким образом, \( \vec{B} \) и \( d\vec{l} \) коллинеарны, и их скалярное произведение равно \( B dl \). Циркуляция будет:

\[ \oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \oint_L B dl = B \oint_L dl = B \cdot (2\pi r) \]

Ток, пронизывающий выбранную окружность, равен току в проводнике \( I \), то есть \( I_{скв} = I \).

Приравнивая выражения из теоремы о циркуляции:

\[ B \cdot (2\pi r) = \mu_0 I \]

Отсюда находим величину магнитной индукции:

\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]

Ответ: Величина магнитной индукции бесконечно длинного проводника с током на расстоянии \( r \) от него определяется формулой \( B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \).