8 sin^2 x - sin x - 2 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ 8y^2 - y - 2 = 0 \]

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-2) = 1 + 64 = 65 \]

Найдем корни уравнения:

\[ y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{65}}{2 \cdot 8} = \frac{1 + \sqrt{65}}{16} \]

\[ y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{65}}{2 \cdot 8} = \frac{1 - \sqrt{65}}{16} \]

Так как \( y = \sin x \), то \( -1 \le \sin x \le 1 \).

Рассмотрим \( y_1 = \frac{1 + \sqrt{65}}{16} \). Поскольку \( 8 < \sqrt{65} < 9 \) (так как \( 8^2 = 64 \) и \( 9^2 = 81 \)), то \( 9 < 1 + \sqrt{65} < 10 \). Следовательно, \( \frac{9}{16} < y_1 < \frac{10}{16} \). Так как \( \frac{10}{16} < 1 \), то \( y_1 \) находится в допустимом диапазоне.

Рассмотрим \( y_2 = \frac{1 - \sqrt{65}}{16} \). Поскольку \( 8 < \sqrt{65} < 9 \), то \( -8 < -\sqrt{65} < -9 \). Следовательно, \( 1 - 8 < 1 - \sqrt{65} < 1 - 9 \), то есть \( -7 < 1 - \sqrt{65} < -8 \). Отсюда \( \frac{-7}{16} > y_2 > \frac{-8}{16} \). Так как \( \frac{-7}{16} > -1 \), то \( y_2 \) также находится в допустимом диапазоне.

Таким образом, мы имеем:

\[ \sin x = \frac{1 + \sqrt{65}}{16} \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1 - \sqrt{65}}{16} \]

Решения в общем виде:

\[ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1 + \sqrt{65}}{16}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

\[ x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1 - \sqrt{65}}{16}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = (-1)^n \arcsin\left\(\frac{1 + \sqrt{65}}{16}\right\) + \(\pi\) n, \(\quad\) x = (-1)^k \(\arcsin\)\(\left\)\(\frac{1 - \sqrt{65}}{16}\right\) + \(\pi\) k, \(\quad\) n, k \(\in\) \(\mathbb{Z}\).